虚数与复数区别？

一、虚数与复数区别？

     复数集是人类到目前为止所知的所有数的总集，由实数集与虚数集组成。

     随着科学的发展，将来也许还会出现比复数集更高一级的数集，所以复数和虚数是有区别的，复数包含虚数，含有虚数单位i的数即是复数也是虚数。

      人类既然定义了虚数，就必然有它存在的理由。

     在高等数学和现代物理学的研究中，虚数就是极为常见的，并有它的现实意义。

      比如高数中的欧拉公式：

      sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，

      cosx=(e^ix+e^-ix)/2.及由它得到的恒等式e^i∏+1=0，在解微分方程中，欧拉公式就有应用。在解微分方程的过程中，会出现虚数，但有趣的是会得到一个实系数解，这可以很好的说明虚数是真实存在的。 

    此时Z自然是虚数，也属于复数 ，x=0时叫纯虚数，x不=0时是一般的虚数。

二、虚数和复数区别？

      虚数与复数有区别。在数学里，将偶指数幂是负数的数定义为虚数。实数和虚数组成的一对数在复数范围内看成一个数，取名为复数。复数由实数和虚数组成，复数包含虚数。

例如：一元二次方程判别式大于0的解出来就是实数根,判别式小于0的解出来就是虚数根。

三、虚数和复数的区别？

虚数，即平方为负数的数，所有的虚数都是复数；

“虚数”这个名词由17世纪著名数学家笛卡尔创制，因为当时的观念认为这是真实不存在的数字；在数学里，将偶指数幂是负数的数定义为纯虚数；

实数，是数学名词，由实数部分和虚数部分所组成的数，实数和虚数都是复数的子集，实数可以在数轴上表示。

四、实数复数虚数的区别？

实数指的是和数轴上的点一一对应的数，是有理数和无理数的总称。

虚数指的是形如a+b*i的数，其中a,b是实数，且b≠0。当a=0，且b≠0时，形如b*i的数就叫做纯虚数，而纯虚数也指的是偶指数幂为负数的数。虚数a+b*i的实部a可对应平面上的横轴，虚部b对应平面上的纵轴，这样虚数a+b*i可与平面内的点(a,b)对应。

而形如z=a+bi（a,b均为实数）的数称为复数，其中a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位。当虚部等于零时，这个复数就是实数；当虚部不等于零时，这个复数称为虚数，虚数的实部如果等于零，则称为纯虚数。也就是说。复数是实数和虚数的统称。

以上就是实数、虚数、及复数的区别。

五、怎么理解虚数和复数？

在实数域中，连接两个真理的最短的路径是通过复数域----雅克·阿达马

现代数学家对复数的看法如斯，无限拔高了复数的地位，这样说有道理吗？

1 对于复数的普通认知

我想，对于复数，或许大家一般会有以下的认知吧。

1.1 应付考试

高中的时候，会粗略地学习下复数，首先定义：

然后形如：

这样的数就是复数。有了复数之后，开方运算就不再局限于大于0的数了，这样高中必考的一元二次方程：

就总是有解了：

书上还会给出一些复数的运算法则，这样高考命题组就可以出题了。最后留给同学们的印象，似乎复数就是一个类似于太阳能电筒（不带蓄电池）一样，属于智力过剩的产物，是数学家的玩具。

1.2 数系完善

增加负数，可以使得减法任意进行。而有了 之后，开根号运算就可以随意了，比如：

对数运算也可以操作负数了，比如（下面用到欧拉公式，可以参考这里）：

这样，基本上就只有：

• 除以

这两个运算没有办法执行了。不过大家思考过没有，完善数系真的那么重要呢？如果非常重要的话，为什么不能发明一个数系能够使得“除以 ”可以进行下去？

你别说，史上有非常多的数学家想去发明能够兼容“除以 ”的数系，可惜都失败了，因为没有办法自洽。比如说，某个数系兼容“除以 ”，那么很容易得到荒谬的结论：

你说这种扩展数系的方法不对，换种别的扩展方式或许就能自洽。但是数学家试过各种扩展方式，都没有办法自洽。

深想一步，尝试了无数种方法都没有发明出兼容“除以 ”的数系，是否意味着不存在这样的数系。就好比，尝试了无数种永动机，下面是其中之一：

这些永动机最后都被证伪，实际上“永动机”这个目标就是错误的（1775年法国科学院通过决议，宣布永不接受永动机。现在美国专利及商标局严禁将专利证书授予永动机类申请。据说现在有什么时间晶体，不了解就不发言）。

再深想一步，为什么扩展 就那么容易呢？没有遇到自洽的问题呢？这是因为当人们抽象出“1+1=2”的时候，复数就根植于逻辑之上、存在于数学之中，静静地等待着人们的发现。

2 二维的数

假设有一个生活在二维空间中的纸片人：

突然发现有一个黑点在草地上忽大忽小的闪烁，纸片人完全不知道怎么去解释：

如果切换到三维视角去的话，问题就很简单了，原来是一个三维的球体穿过二维平面：

上面完整的视频如下（出处是这里）：

实数是一维的数，既生活在一维的实数轴上，又困囿其上：

而复数生活在二维复平面，拥有更大的自由度：

类比刚才的动画，你就会明白为什么复数域更加重要，也不可或缺，因为它带给我们更广阔的视野。在复数域中解决一些问题会更加简单、更接近本质。

让我们带着这个模型重新审视下复数的发现历史，进一步去理解复数。

3 复数的历史

3.1 纸片人卡尔达诺

意大利数学家，吉罗拉莫·卡尔达诺（1501－1576），在它的著作《大术》中（这本书首次记载了一元三次方程的完整解法）提到这个一个问题，能否把10分成两部分，使它们的乘积为40？

他给出一个答案，令：

这样就满足题目的要求：

不过他自己也认为这不过就是一个数学游戏，虽然出现了虚数，但是“既不可捉摸又没有什么用处”。

此时的卡尔达诺就好像之前的纸片人，虽然想到了虚数，触摸到了更高的维度，但是终究还是把它看成一种幻想。

之后的笛卡尔把 称为虚数，也就是虚幻的、想像出来的数；莱布尼兹描述它为“介乎于存在与不存在之间的两栖数”。

确实，纸片人要跳出自己的维度去想问题是非常困难的。

3.2 邦贝利的思维飞跃

拉斐尔·邦贝利（1526－1572），文艺复兴时期欧洲著名的工程师，同时也是一个卓越的数学家，其出版于1572年的《代数学》一书讨论了负数的平方根（虚数）：

正是这本书产生了一个思维飞跃，下面用现代语言来介绍一下。

3.2.1 一元二次方程

首先，标准的一元二次方程：

它的解为：

从几何上看，解就是 与 的交点。当 时， 与 有两个交点，也就是有两个根 、 ：

而 ，此时 与 不相交：

也就是说，不引入虚数（因为 ，如果根据公式求解的话，就会引入虚数），是不会产生任何问题的。本来从几何上看，此时方程就不应该有解。

3.2.2 一元三次方程

形如：

的三次方程，卡尔丹诺在《大术》这本书中给出了通解：

如果 ， ，可以得到方程：

从图像上看， 与 有三个交点的：

套用通解会得到：

邦贝利指出：从几何上看是有解的，但是必须通过虚数来求解！

邦贝利大胆地定义了复数的乘法（就是多项式乘法的合理延伸）：

最终通过复数以及复数乘法，邦贝利解出了此方程的三个实数解（这里不过多解释了，这不是本文的重点）。

这是一个巨大的思维飞跃，就好像刚才的纸片小人，困惑于“为什么有一个黑点在草地上忽大忽小的闪烁”？最终发现，需要通过更高纬度才能真正解决这个问题。

邦贝利通过更高维度的复平面，解决了低维度的实数问题，真正的把复数带入了人们的视野。所以他被认为是复数的发现者。

3.3 傅立叶变换

复数进入纸片人的视野，大家花了很长的时间才真正接受它。接受它之后发现了非常多的应用，比如傅立叶变换。

还是回到之前纸片人的动画，对于纸片人，它只有上下左右的观念：

而三维空间的人却可以看到更多的方向、更多的内容：

傅立叶变换也可以说是同样的思路， 是低维度的函数：

对 进行傅立叶变换：

抛开其它细节不谈，最重要的是 ，乘以一个复数，就把 拖到更高维度的空间去审视，从而可以得到更多的细节，比如频域。

关于傅立叶变换，我们也写过很多的文章，感兴趣可以去看看：

• 如何直观地理解傅立叶变换？
• 如何理解傅立叶级数公式？
• 从傅立叶级数到傅立叶变换

4 更高维度的数

自然会有这么一个问题，是否有更高维度的数？答案是有的，比如四元数。

威廉·哈密顿爵士（1805－1865）发现了四元数：

其中 、 、 就是对虚数维度的扩展。为此还成立了四元数推广委员会，提议学校像实数一样教授四元数。

四元数刚开始的时候引起了很大的争议，计算很复杂，但是用处不明显。用处不明显的原因或许是，当时面临的问题还不够复杂，还用不到比复数还高的维度。

到了现代，终于在电脑动画中、量子物理中找到了四元数更多的应用，只是这些应用对普通人距离太远了。

最新版本（可能有不定期更新）：复数，通往真理的最短路径。

后继文章：

• 欧拉公式，复数域的成人礼
• 泰勒级数为什么不能展开？

更多内容推荐马同学图解数学系列

六、虚数和复数有什么区别？

1、复数可以分为两类数：实数、虚数。

2、所有实数和所有虚数构成了所有的复数，复数不含实数、虚数之外的数。

3、实数、虚数都是复数；不存在既是实数，又是虚数的复数；任何一个复数，不属于实数就属于虚数，二者必居其一。

实数、虚数和复数的关系:

一、实数

1、实数包括有理数和无理数。

2、有理数主要包括整数、分数、有限小数、无限循环小数。

3、无理数主要包括开方开不尽的数、无限不循环小数。

【例】圆周率“π”属于无限不循环小数；“根号2”、“3的立方根”都属于开方开不尽的数。

二、虚数

1、形如“a+bi”、“bi”（a、b∈R，并且b≠0）的复数都是虚数。其中“i”是虚数单位，“i”的平方等于“-1”。

2、我们把“a+bi”中的“a”称为“实部”，把“b”称为“虚部”。

3、因为实数、虚数都是复数，虚数也可以理解为虚部“b”不是0（带着“i”，并且“i”的系数不是0）的复数。

4、“虚数”的两种常见形式

（1）“a+bi”（a、b∈R，并且a≠0、b≠0）。

（2）“bi”（b∈R，b≠0）。此时，也称为“纯虚数”。

【注】其中“i”为虚数单位。

三、复数是实数、虚数判定的充要条件

复数一般用“z”表示，复数z的一般形式是“z=a+bi”（a、b∈R，并且a≠0、b≠0，下同）。

1、当虚部b=0时，复数z=a∈R，此时“z”属于复数中的实数。即，复数z=a+bi为实数的充要条件是“b=0”。

2、当虚部b≠0时，复数z具有形式“a+bi”，此时不管实部a是否为0，复数z都属于复数中的虚数。即，复数z=a+bi为虚数的充要条件是“b≠0”。

【例题详解】

判断下面复数属于复数中的实数还是虚数。（其中“i”为虚数单位）

1、1+2i.

【解析】因为虚部是2，虚部不等于0，所以“1+2i”是复数中的虚数。

2、3i

【解析】“3i”化成复数的一般形式（a+bi形式）即为“0+3i”。因为虚部是3，虚部不等于0，所以是复数中的虚数。同时，又因为实部为0，所以“3i”还是纯虚数。

3、5+0i

【解析】因为虚部为0，所以“5+0i”是复数中的实数。事实上，因为5+0i=5，所以“5+0i”表示实数“5”。

4、0+0i

【解析】因为虚部是0，所以“0+0i”是复数中的实数。进一步地，因为0+0i=0，所以“0+0i”表示实数“0”。

七、复数为虚数的条件？

答案解析:复数包括实数和虚数。复数z=a+bi(a,b属于R)，当b≠0时，复数为虚数。虚数包括普通虚数和纯虚数。下面是纯虚数的情况

复数是纯虚数的充要条件：

1、z=a+bi(a,b∈R)是纯虚数＜＝＞a=0且b≠0。

2、z是纯虚数＜＝＞z+z'=0且z≠0。

3、z是纯虚数＜＝＞z²<0。

八、什么是虚数和复数？

在数学中,将偶指数幂是负数的数定义为纯虚数。实数和虚数组成的一对数在复数范围内看成一个数,起名为复数。复数包含虚数,所以所有的虚数都是复数。虚数没有正负可言,不是实数的复数,即使是纯虚数,也不能比较大小。复数集包含了实数集,因而是复数是实数的扩张。

九、复数纯虚数是什么？

1777年瑞士数学家欧拉(或译为欧勒)开始使用符号i[其中i=√(-1)]表示虚数的单位，后来人们将虚数和实数有机地结合起来，写成a+bi形式，其中a称为该虚数的实部，b称为该虚数的虚部，且a、b均为实数，当复数的实部为0且虚部不为0时，平方是负数的数定义为纯虚数。

即为已知：当b=0时，z=a，这时复数成为实数当a=0且b≠0时，z=bi，我们就将其称为纯虚数。

形如的数叫作复数，其中是复数的实部，b是复数的虚部，全体复数组成的集合叫作复数集，用字母C表示。

复数，当b=0时，就是实数；当b≠0时，叫作虚数；当时．叫作纯虚数。

把复数表示成的形式，叫作复数的代数形式。

十、复数的虚部虚数有什么区别？

1、定义不同

虚部：对于复数z=x+iy，满足等式

,其中x，y是任意实数，x称为复数z的实部，y称为复数z的虚部。 复数是普通实数的字段扩展，以便解决不能用实数单独解决的问题。

虚数：在数学里，将偶指数幂是负数的数定义为纯虚数。所有的虚数都是复数。定义为i²=-1。但是虚数是没有算术根这一说的，所以±√(-1)=±i。对于z=a+bi,也可以表示为e的iA次方的形式，其中e是常数，i为虚数单位，A为虚数的幅角，即可表示为z=cosA+isinA。

实数和虚数组成的一对数在复数范围内看成一个数，起名为复数。虚数没有正负可言。不是实数的复数，即使是纯虚数，也不能比较大小。

2、起源不同

虚部：复数的概念来源于意大利数学家Gerolamo Cardano，16世纪，在他试图在找到立方方程的通解时，定义i为“虚构”（fictitious）。

虚数：虚数这个名词是17世纪著名数学家笛卡尔创立，因为当时的观念认为这是真实不存在的数字。后来发现虚数a+b*i的实部a可对应平面上的横轴，虚部b与对应平面上的纵轴，这样虚数a+b*i可与平面内的点(a,b)对应。

3、表达式不同

虚部：在英文中，实数是 Real Quantity，所以一般取 Real 的前两个字母 “Re” 表示一个复数的实部；虚数是 Imaginary Quantity，所以，一般取 Imaginary 的前两个字母 “Im” 表示一个复数的虚部。例如：

Re(2+3i)=2， Im(2+3i)=3；

Re(-7.38i)=0， Im(-7.38i)=-7.38。

复平面表示方法

复平面当中的点（x,y）来表示复数x+iy，其中y轴为虚轴，y的值即为虚部。

虚数：a=a+i含义为与一切事物皆无联系的概念，无论a任何变化，i都不会变。